Die Standardabweichung ist ein Dispersionsmaß und beruht auf der zuvor ermittelten Varianz. Sie zeigt die Streuung einer Verteilung auf. Um die Standardabweichung berechnen zu können, müssen – ebenso wie bei der Varianz auf der sie schließlich beruht – die Merkmale metrisch skalierbar sein.
Eine Standardabweichung zeigt an, wie genau ein Mittelwert ist. Ist sie groß, ist er ungenau. Bei einer Normalverteilung liegen 68,26 % aller Werte maximal eine Standardabweichung vom arithmetischen Mittel entfernt. Die Standardabweichung beruht auf der Berechnung der Varianz.
Eine Standardabweichung der Grundgesamtheit wird auch als Sigma (σ) bezeichnet.
Wenn du wissen möchtest, wie die Varianz ermittelt wird, lies dir diesen Artikel durch.
Im oben verlinkten Artikel zur Varianz findest du ein Beispiel, das sich um die Anzahl von Stadtteilen in einigen deutschen Städten dreht. Im Ergebnis ermittelten wir, dass die Städte München, Frankfurt a. M., Berlin, Köln und Hamburg eine Varianz von 40,56 „Quadratstadtteilen“ haben.
Dieser Wert darf nun aber noch nicht interpretiert werden. Das ist wichtig zu beachten, denn bei manchen Maßen ist es verlockend, zum Beispiel, wenn es sich stadt etwas abwegigen wie Quadratstadtteilel um Quadratmeter handelt, was vertraut und einleuchtend erscheint. Um die Varianz interpretieren zu können, wandeln wir sie mittels Ziehen der Quadratwurzel in die Standardabweichung um:
<m>s^2 = 40,56</m>
<m>s = sqrt{40,56}</m>
<m>s = 6,3687</m>
Die Standardabweichung beträgt also 6,3687.
Die Standardabweichung hilft uns zu interpretieren, wie aussagekräftig ein Mittelwert ist. Ist die Standardabweichung gering, streuen die Werte als nah um das arithmetische Mittel, dann hat es eine hohe Aussagekraft. Ist die Standardabweichung hoch, ist der Mittelwert weniger aussagekräftig, weil die Werte auch weit vom Durchschnitt weg streuen. Das arithmetische Mittel von 13,8 Stadtteilen pro Stadt ist nicht besonders aussagekräftig, weil München mit 25 Stadtteilen ein Ausreißer ist. Wir wissen also, dass wir diesen Mittelwert zwar benutzen können, aber mit Vorsicht genießen müssen.
Es gibt Orientierungshilfen zur Interpretation. In 68,26 % aller Fälle liegen die Werte in der Normalverteilung eine Standardabweichung vom arithmetischen Mittel entfernt:
| -1s | AM | +1s |
|---|---|---|
| <m>-1s = AM - s</m> <m>-1s = 13,8 - 6,3687</m> <m>-1s = 7,4313</m> | <m>1s = AM + s</m> <m>1s = 13,8 + 6,3687</m> <m>1s = 20,1687</m> |
|
| 7,4313 | 13,8 | 20,1687 |
68,26 % aller Werte werden also zwischen 7,4313 und 20,1687 liegen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert zwei Standardabweichungen vom arithmetischen Mittel entfernt liegt, beträgt 95,44 %. Der Begriff Six Sigma, also sechs Standardabweichungen, bezeichnet im Qualitätsmanagement nahezu fehlerfreie Qualität.